Исследовательская работа Тема: «Взаимосвязь между углами правильной n-угольной пирамиды»

МБОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи г. Ростова-на-Дону

Донская академия наук юных исследователей им. Ю. А. Жданова

Математика

Исследовательская работа

Тема: «Взаимосвязь между углами правильной n-угольной пирамиды»

Автор работы: ученик 11 класса МБОУ СОШ №3

Руководитель: Новодранова И.Л.,

учитель математики

г.Ростов-на-Дону

2023 г.

Оглавление

Введение ………………………………………………………………….3

Взаимосвязь между углами правильной n – угольной пирамиды. Вывод формул………………………………..………………………4

Практическое применение полученных формул.……………….....8

Заключение …………………………………………………………...…12

Литература ………………………………………………………..…..…13

Введение

Одной из самых распространенных форм архитектурных сооружений является пирамида, в частности, пирамида правильная. Поэтому интерес к этой геометрической фигуре, к ее свойствам, ее секретам всегда был и остается и в наши дни поистине актуальным.

С пирамидой связана серия углов: двугранный угол при основании, двугранный угол при боковом ребре, угол наклона бокового ребра к основанию, плоский угол при вершине, плоский угол при основании.

Однако в математических учебниках нет сведений о том, существует ли взаимосвязь между этими углами и какие формулы их связывают.

Напрашивается гипотеза о том, что такая взаимосвязь должна существовать, и интерес вызывают формулы, устанавливающие эту взаимосвязь.

Поэтому в качестве объекта данного исследования рассматриваются формулы, устанавливающие взаимосвязь между углами правильной n – угольной пирамиды.

Предметом исследования являются все углы, относящиеся к такой пирамиде.

Цель исследования – теоретический вывод формул, устанавливающих взаимосвязь между углами правильной n – угольной пирамиды.

Из поставленной цели вытекают следующие задачи:

изучить теоретический материал по теме «Правильная пирамида»;

повторить соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника;

установить зависимость между углами правильной n – угольной пирамиды;

проанализировать полученные результаты и показать их практическое применение.

Методы исследования: использование теоретических данных, анализ, обобщение.

Взаимосвязь между углами правильной n – угольной пирамиды. Вывод формул

Определение 1. Пирамидой называется многогранник, основанием которого является n – угольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Определение 2. Пирамида называется правильной, если в основании у нее – правильный n – угольник, а высота проходит через центр окружности, описанной около этого многоугольника (вершина проецируется в центр основания).

Рассмотрим правильную n – угольную пирамиду SA1A2…An. (рис.1)

рис.1

Построим линейные углы двугранных углов:

- линейный угол двугранного угла при основании, B – середина A1A2.

(так как пирамида правильная, ). – линейный угол двугранного угла при боковом ребре.

Плоский угол при вершине , тогда .

Плоский угол при основании .

Угол между боковым ребром и основанием .

, .

Введем обозначения линейных элементов пирамиды:

– боковое ребро,

- сторона основания,

- апофема,

- радиус окружности, описанной около основания,

OB = r - радиус окружности, вписанной в основание,

h – высота.

.

(по двум сторонам и углу между ними) , .

- равнобедренный, в нем – медиана, а значит – высота. Таким образом, - прямоугольные.

Итак, в правильной n – угольной пирамиде обозначено пять углов: .

Но связь между углами общеизвестна: . Зная, например, , всегда можно найти и .

Значит, есть смысл найти взаимосвязь каждой пары из четырех углов: .

Очевидно, что таких пар 6: .

Найдем взаимосвязь между .

Для этого рассмотрим и – прямоугольные.

Из .

Но (в ).

Таким образом, .

Из .

Получаем:

.

(1).

Установим связь между .

Для этого рассмотрим и .

Из .

Но (Из ), .

Из .

Получаем: ,

(2).

Установим связь между .

Рассмотрим и .

Из .

Из .

Но из = ,

.

Получаем:

(3).

Установим связь между .

Для этого рассмотрим и .

Из .

Из (SA2⟘ плоскости , значит A2S⟘CD, т.е. ).

Так как , то )=

cos )=.

Тогда, CD=

CD=.

Получаем:

,

(4).

Установим связь между .

Рассмотрим и .

Из .

Из , но ; .

Получим:,

(5).

Установим связь между.

Для этого воспользуемся уже полученными формулами:

(1) и

(3).

Воспользуемся формулой , тогда из (1) и (3) получим:

(6).

Практическое применение полученных формул

Рассмотрим применение полученных формул к решению задач.

Задача 1. Найти плоский угол (γ) при вершине правильной n – угольной пирамиды, если угол наклона бокового ребра к основанию (φ) равен 450. Решить задачу для а) n=3; б) n=4; в) n=6.

Решение. Воспользуемся формулой

а) n=3

γ =2arcsin

б) n=4

=300

γ =600

в) n=6

γ =2arcsin

Задача 2. Найти двугранный угол, образованный двумя смежными боковыми гранями (β) правильной n-угольной пирамиды, если двугранный угол при основании (α) равен 300. Решить задачу для а) n=3; б) n=4; в) n=6.

Решение. Воспользуемся формулой

;

β =2arccos

а) n=3

β =2arccos

β =2arccos

б) n=4

β =2arccos2arccos

в) n=6

β =2arccos=2arccos

Задача 3. Измерили сторону основания правильной пятиугольной пирамиды a = 10 м и плоский угол при вершине γ =600. Вычислить объем пирамиды. (рис.2)

Дано: SA1…A5- правильная пирамида,

A1A2=10 м,

Найти: Vпир.

рис.2

Решим задачу, не используя полученные формулы.

Vпир.= .

Из

Из

Из

Vп=

V=

Ответ. .

Решим задачу с использованием полученных в главе 1 формул.

Vпир.= .

Из

V= .

Ответ. .

Способ с применением формулы, связывающей углы α и γ, оказался короче, так как не пришлось находить апофему SB.

Задача 4. Двугранный угол при боковом ребре правильной шестиугольной пирамиды равен 1400, апофема равна 20 см. Найдите высоту пирамиды. (рис.3)

Дано: SA1…A6- правильная пирамида,

SB =20 см – апофема,

Найти: h- высоту

Решение.

SB⟘⇒ ОВ⟘, значит, - линейный угол двугранного угла при основании.

Воспользуемся формулой,

рис. 3 связывающей углы и

⇒

Рассмотрим

=13,680.

Ответ. 13,68 см.

Рассмотрим решение задачи без использования формулы, связывающей углы и .

Построим линейный угол .

A1S⟘ пл (A2CA6) ⇒ A1S⟘CD.

(общий острый , треугольники прямоугольные).

Из подобия треугольников следует, что

(1)

Найдем искомые отрезки:

Из ⇒

Из ⇒h (2)

(в )

Из ⇒

Из ⇒

Подставим нужные элементы в равенство (1).

Сюда же подставим вместо h равенство (2).

Получим:

Сократим дробь и возведем обе части равенства в квадрат:

(.

Раскроем скобки и найдем a2:

(

h

h=

h≈20.

Ответ. 13,6 см.

Решение без использования формулы, связывающей двугранные углы и , является очень громоздким.

На примере этой задачи отчетливо видно преимущество первого способа ее решения.

Заключение

В ходе выполнения исследовательской работы был проанализирован теоретический материал, относящийся к правильной n-угольной пирамиде, а именно, дано определение пирамиды, пирамиды правильной, раскрыто понятие ее основных углов. Выведены формулы, устанавливающие связь между этими углами, что является подтверждением гипотезы, выдвинутой в начале работы.

В данной исследовательской работе приводятся примеры решения задач с применением установленных формул, показано преимущество их использования, обеспечивающее более рациональное решение.

Литература

Атанасян Л.С. и др. Геометрия для 10-11 классов общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение, 2017

Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Ткачева М. В. И др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для учащихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень) — М.: Мнемозина, 2009